ตัวคูณร่วมน้อย

ตัวคูณร่วมน้อย
1.จำนวนนับที่หารด้วยจำนวนนับที่กำหนดให้ลงตัว เรียกว่า พหุคูณของจำนวนนับที่กำหนดให้นั้นเช่น
2,4,6,8,10,12,14,16,18,... เป็นพหุคูณของ 2
3,6,9,12,15,18,... เป็นพหุคูณของ 3
จะเห็นว่า 6,12,18,...เป็นพหุคูณของทั้ง 2 และ 3
จึงเรียก 6,12,18,...ว่า พหุคูณร่วม ของ 2 และ 3 และเรียกพหุคูณร่วมที่น้อยที่สุดของ 2 และ 3 ว่าตัวคูณร่วมน้อยหรือ ค.ร.น.

2.การหาค.ร.น.ของจำนวนนับตั้งแต่สองจำนวนขึ้นไปเป็นการหาพหุคูณร่วมที่น้อยที่สุดของจำนวนนับเหล่านั้น
เราจึงอาศัยการหาพหุคูณร่วมในการหาค.ร.น.ของจำนวนนับเหล่านั้น
เราจึงอาศัยการหาพหุคูณร่วมในการหา ค.ร.น ของจำนวนนับ โดยวีธีต่างๆดังนี้

วิธีที่1โดยการพิจารณาพหุคูณ
วิธีที่2โดยการแยกตัวประกอบ

วิธีที่1.การหาห.ร.ม.ของจำนวนนับโดยการพิจารณาพหุคูณ
การหาค.ร.น.ของ 5 และ 7
เนื่องจาก
5,10,15,20,25,30,35,40,45,50,55,60,65,70,...
เป็นพหุคูณของ 5
7,14,21,28,35,42,49,56,63,70,...
เป็นพหุคูณของ 7
จะเห็นว่า 35,70,... เป็นพหุคูณร่วมของ 5 และ 7
35 เป็นพหุคูณร่วมที่น้อยที่สุดของ 5 และ 7
ดังนั้น ค.ร.น. ของ 5 และ 7 คือ 35

วิธีที่ 2 โดยการแยกตัวประกอบ
เช่น เราต้องการหา ค.ร.น ของ 18 24 210
ให้กระจายตัวประกอบออกมา
18 = 2 x 3 x 3
24 = 2 x 3 x 2 x 2
210 = 2 x 3 x 5 x 7
จากข้างบน ทั้ง 3 บรรทัด มี 2 เหมือนกัน อยู่ 1 ตัว (ลองเขียนในกระดาษแล้ววาดวงกลมล้อมคอลัมน์แรก (แถวแรกในแนวตั้ง) และก็มี 3 เหมือนกัน อยู่อีก 1 ตัว (คอลัมน์ที่ 2) หยิบมาคูณกัน
2 x 3 = 6
นำตัวเลขที่เหลือ (ที่ไม่ได้วงกลม ในกรณีที่วาดในกระดาษตามที่แนะนำ) มาคูณต่อ ได้คำตอบของ

ค.ร.น 6 (จากขั้นตอนที่แล้ว) x 3 x 2 x 2 x 5 x 7 = 2520

ที่มา http://www.krudung.com/webst/2552/501/30/a3.html

สูตรการหาพื้นที่

สูตรการหาพื้นที่ - Presentation Transcript

1. สูตรการหาพื้นที่
2. สี่เหลี่ยมจัตุรัส = ด้าน x ด้าน
3. ตัวอย่าง จงหาพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสต่อไปนี้ วิธีทำ 5 cm. 5 cm. พื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัส = ด้าน x ด้าน = 5x5 = 25 ตร . ซม . ตอบ
4. สี่เหลี่ยมผืนผ้า = กว้าง x ยาว
5. ตัวอย่าง จงหาพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าต่อไปนี้ วิธีทำ พื้นที่สี่เหลี่ยมผืนผ้า = กว้าง x ยาว = 7x11 =77 ตร . ม . ตอบ 11 m. 7 m.
6. สี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน = ความยาวของฐาน x ความสูง
7. ตัวอย่าง จงหาพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนต่อไปนี้ วิธีทำ 5 m. 5 m. พื้นที่สี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน = ความยาวของฐาน x ความสูง =5x5 =25 ตร . ม . ตอบ
8. สี่เหลี่ยมด้านขนาน = ความยาวของฐาน x ความสูง
9. ตัวอย่าง จงหาพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานต่อไปนี้ วิธีทำ 10 cm. 8 cm. พื้นที่สี่เหลี่ยมด้านขนาน = ความยาวของฐาน x ความสูง = 10 x 8 = 80 ตร . ซม . ตอบ
10. สี่เหลี่ยมคางหมู = เศษหนึ่งส่วนสอง x ผลบวกด้านคู่ขนาน x ความสูง
11. 16 m. 5 m. ตัวอย่าง จงหาพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมคางหมูต่อไปนี้ วิธีทำ พื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมู = เศษหนึ่งส่วนสอง x ผลบวกด้านคู่ขนาน x ความสูง = 16x5 = 80 ตร . ม . ตอบ
12. สี่เหลี่ยมรูปว่าว = เศษหนึ่งส่วนสอง x ผลคูณของเส้นทแยงมุม
13. ตัวอย่าง จงหาพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมรูปว่าวต่อไปนี้ วิธีทำ สี่เหลี่ยมรูปว่าว = เศษหนึ่งส่วนสอง x ผลคูณของเส้นทแยงมุม = 0.5 x (2 x 8) = 8 ตร . ซม . ตอบ 8 cm. 2 cm.
14. รูปสามเหลี่ยม = เศษหนึ่งส่วนสอง x ความยาวของฐาน x ความสูง
15. 8 m. 12 m. ตัวอย่าง จงหาพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมต่อไปนี้ วิธีทำ พื้นที่รูปสามเหลี่ยม = เศษหนึ่งส่วนสอง x ความยาวของฐาน x ความสูง = 0.5 x 12 x 8 = 48 9 ตร . ม . ตอบ
16. วงกลม = ลังสองพาย x r ยกกำลังสอง
17. ตัวอย่างที่ 4 จงหาพื้นที่วงกลมที่มีรัศมียาว 7 เซนติเมตร วิธีทำ 7 cm. พื้นที่วงกลม = ลังสองพาย x r ยกกำลังสอง = 22 / 7 x 7 x 7 = 154 ตร . ซม . ตอบ
18. หน่วยของพื้นที่ พื้นที่มีหน่วยเป็นตารางหน่วย เช่น ตารางวา ตารางเมตร ตารางเซนติเมตร นอกจากนี้พื้นที่ยังมีหน่วยเป็นอื่น ๆ อีก เช่น ไร่ งาน เอเคอร์ การเปลี่ยนหน่วยความยาว การเปลี่ยนหน่วยของพื้นที่ 1 กิโลเมตร = 1,000 เมตร 3 ฟุต = 1 หลา 1 งาน = 100 ตารางวา 1 ไร่ = 400 ตารางวา 12 นิ้ว = 1 ฟุต 1 ไร่ = 4 งาน 1 เมตร = 100 เซนติเมตร 1,756 หลา = 1 ไมล์ 1 เซนติเมตร = 10 มิลลิเมตร
19. วิธีเปลี่ยนหน่วยของพื้นที่
20. The End By Nampueng Choomchouy

 ที่มา     http://www.slideshare.net/guest63819e/ss-3021712

ความหมายของสถิติ

  ความหมายของสถิติ

       คำว่า “สถิติ” มาจากศัพท์ภาษาอังกฤษว่า “statistics”  ซึ่งมีรากศัพท์มาจากคำว่า “state”  ดังนั้นตามความหมายดั้งเดิม สถิติ จึงหมายถึง ข้อมูลหรือข่าวสารที่เป็นประโยชน์ต่อรัฐในด้านต่างๆ เช่น ข้อมูลในการวางแผนกำลังคน การเก็บภาษีอากร การประกันสังคม การจัดการศึกษา และการสาธารณสุข เป็นต้น ต่อมาคำว่า สถิติ มีความหมายกว้างขวางขึ้น ซึ่งในปัจจุบัน สถิติมีความหมายต่างๆ ดังนี้

       สถิติ  ในความหมายของ “ข้อมูลสถิติ”  หมายถึง ตัวเลขที่ใช้แทนข้อเท็จจริงของสิ่งต่างๆ เช่น สถิติการเข้าชั้นเรียน ปริมาณการขายสินค้า สถิติจำนวนบุคลากรของหน่วยงานต่างๆ เป็นต้น

         สถิติ ในความหมายของ  “ระเบียบวิธีการทางสถิติ”  หมายถึง ระเบียบวิธีการทางสถิติ ซึ่งประกอบด้วยการเก็บรวบรวมข้อมูล การนำเสนอข้อมูล การวิเคราะห์ข้อมูล และการแปลความหมายข้อมูล   ดังนั้นสถิติตามความหมายนี้จึงเป็นเครื่องมือสำคัญของนักวิจัย นักวิชาการ และนักบริหาร

                     สถิติ ในความหมายของ “ค่าสถิติ”  หมายถึง ค่าตัวเลขที่คำนวณได้จาก  ข้อมูล  กลุ่มตัวอย่าง (Sample data)  เช่น ค่าเฉลี่ยเลขคณิต ( X ) ค่าส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน (S.D.) เป็นต้น

      

  สถิติ  ในความหมายของ “วิชาสถิติ”  หมายถึงวิชาวิทยาศาสตร์แขนงหนึ่งซึ่งมีเนื้อหาและรากฐานมาจากวิชาคณิตศาสตร์ (Mathematics) และตรรกวิทยา (logic) โดยสถิติเป็นศาสตร์ของการตัดสินใจภายใต้สถานการณ์ที่ยังไม่แน่นอน

ที่มา  www.301math.exteen.com/20080112/entry-1

ค่าประมาณ

ค่าประมาณ

ในชีวิตประจำวันของนักเรียน อาจจะเกี่ยวข้องกับข้อมูลที่มีปริมาณ หรือจำนวนมากๆ และบ่อยครั้งต้องอาศัยข้อมูลจาการคำนวณมาประกอบการตัดสินใจ เช่น หนูแดงได้เงินจากแม่มา 200 บาท เพื่อไปซื้อน้ำมันพืช 2 ขวด ราคาขวดละ 45 บาท และน้ำยาล้างจาน 3 ถุง ถุงละ 23 บาท เมื่อหนูแดงซื้อเสร็จกำลังจะไปจ่ายเงิน แต่เธอเห็นยาสีฟันชนิดที่ใช้อยู่ ลดราคาเหลือกล่องละ 42 บาท จึงคิดราคาน้ำมันพืช 2 ขวด ราคา 90 บาท น้ำยาล้างจาน 3 ถุง ประมาณ 60 บาท เหลือเงินประมาณ 50 บาท ปรากฏว่ามีเงินพอซื้อ เธอจึงนำสินค้าทั้งหมดไปจ่ายเงิน ตัวอย่างนี้เป็นการคำนวณอย่างคร่าวๆ ค่าที่ได้อาจไม่ใช่ค่าที่แท้จริง แต่ใกล้เคียงพอที่ตัดสินใจได้
ในทางคณิตศาสตร์ เรียกค่าซึ่งไม่ใช่ค่าที่แท้จริงแต่มีความละเอียดเพียงพอกับการนำไปใช้ว่า การประมาณ และเรียกการคำนวณที่ต้องการคำตอบอย่างรวดเร็ว ใกล้เคียง เหมาะสมกับการนำไปใช้ว่า การประมาณค่า ค่าที่ได้จากการประมาณและการประมาณค่า เรียกว่า ค่าประมาณ ( approximate value )

ตัวอย่าง นรีไปเดินซื้อของที่ซุปเปอร์มาเก็ตแห่งหนึ่ง ได้รับใบเสร็จรวมคำนวณภาษีมูลค่าเพิ่ม ดังนี้
ข้าวสารหอมมะลิ 1 ถุง ราคา 119.00 บาท
ผงซักฟอก 1 ถุง ราคา 87.50 บาท
น้ำมันพืช 1 ขวด ราคา 43.50 บาท
กระดาษชำระ 1 ห่อ ราคา 39.00 บาท
น้ำตาลทราย 1 ถุง ราคา 13.75 บาท
รวม 302.75 บาท
ราคาก่อนคิดภาษีมูลค่าเพิ่ม 281.56 บาท
รวมภาษีมูลค่าเพิ่ม 21.19 บาท
รวมทั้งสิ้น 302.75 บาท

จากใบเสร็จที่ใช้ ถ้าตรวจสอบว่าการคิดราคารวมของสินค้ามีความเป็นไปได้หรือไม่ อาจคำนวณได้ดังนี้
119.00 ประมาณเป็น 120
87.50 ประมาณเป็น 90
43.50 ประมาณเป็น 40
39.00 ประมาณเป็น 40
13.75 ประมาณเป็น 10
รวม 300

ที่มา http://www.dek-d.com/board/view.php?id=1470559

จำนวนเชิงซ้อน

จำนวนเชิงซ้อน

ในทางคณิตศาสตร์ เซตของจำนวนเชิงซ้อน คือ เซตที่ต่อเติมจากเซตของจำนวนจริงโดยเพิ่มจำนวน i ซึ่งทำให้สมการ i2 + 1 = 0 เป็นจริง และหลังจากนั้นเพิ่มสมาชิกตัวอื่นๆ เข้าไปจนกระทั่งเซตที่ได้ใหม่มีสมบัติปิดภายใต้การบวกและการคูณ จำนวนเชิงซ้อน z ทุกตัวสามารถเขียนอยู่ในรูป x + iy โดยที่ x และ y เป็นจำนวนจริง โดยเราเรียก x และ y ว่าส่วนจริงและส่วนจินตภาพของ z ตามลำดับ
เซตของจำนวนเชิงซ้อนทุกตัวมักถูกแทนด้วยสัญลักษณ์ จากนิยามข้างต้นเราได้ว่าเซตของจำนวนจริงเป็นสับเซตของเซตของจำนวนเชิงซ้อน ดังนั้นจำนวนจริงทุกตัวเป็นจำนวนเชิงซ้อน เราสามารถบวก ลบ คูณ และหารสมาชิกสองตัวใดๆ ของเซตของจำนวนเชิงซ้อนได้ (เว้นแต่ในกรณีที่ตัวหารคือศูนย์) และผลลัพธ์ที่ได้จำเป็นจำนวนเชิงซ้อนเสมอ ดังนั้นในทางคณิตศาสตร์เราจึงกล่าวว่าเซตของจำนวนเชิงซ้อนเป็นฟีลด์ นอกจากนี้เซตของจำนวนเชิงซ้อนยังมีสมบัติปิดทางพีชคณิต (algebraically closed) กล่าวคือ พหุนามที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเชิงซ้อนจะมีราก (พหุนาม)เป็นจำนวนเชิงซ้อนด้วย สมบัตินี้เป็นที่รู้จักในชื่อทฤษฎีบทมูลฐานของพีชคณิต
นอกจากนี้ ในทางคณิตศาสตร์แล้วคำว่า "เชิงซ้อน" ถูกใช้เป็นคำคุณศัพท์ที่มีความหมายว่าฟีลด์ของตัวเลขที่เราสนใจคือฟีลด์ของจำนวนเชิงซ้อน ยกตัวอย่างเช่น การวิเคราะห์เชิงซ้อน, พหุนามเชิงซ้อน, แมทริกซ์เชิงซ้อน, และพีชคณิตลีเชิงซ้อน เป็นต้น

ที่มา www.40th.eng.cmu.ac.th/wp-content/uploads/2010/12/40thday4.2.2.pdf

จำนวนประกอบ

จำนวนประกอบ (อังกฤษ: composite number) คือจำนวนเต็มบวกที่สามารถแยกตัวประกอบได้เป็นผลคูณของจำนวนเฉพาะ 2 จำนวนขึ้นไป จำนวนเต็มทุกๆจำนวนยกเว้น 1 กับ 0 จะเป็นจำนวนเฉพาะหรือจำนวนประกอบ อย่างใดอย่างหนึ่งเท่านั้น จำนวนเต็ม 14 เป็นจำนวนประกอบ เพราะว่ามันแยกตัวประกอบได้เป็น 2 × 7

จำนวนประกอบ 89 ตัวแรกมีดังนี้

4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 25, 26, 27, 28, 30, 32, 33, 34, 35, 36, 38, 39, 40, 42, 44, 45, 46, 48, 49, 50, 51, 52, 54, 55, 56, 57, 58, 60, 62, 63, 64, 65, 66, 68, 69, 70, 72, 74, 75, 76, 77, 78, 80, 81, 82, 84, 85, 86, 87, 88, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 98, 99, 100, 102, 104, 105, 106, 108, 110, 111, 112, 114, 115, 116, 117, 118, 119, 120, ...

คุณสมบัติ

• จำนวนคู่ทุกจำนวนที่มากกว่า 2 เป็นจำนวนประกอบ
• จำนวนประกอบทุกจำนวน ไม่เป็นจำนวนเฉพาะ
• จำนวนประกอบที่น้อยที่สุดคือ 4
• สำหรับจำนวนประกอบ ทุกจำนวนที่มากกว่า 4 (ทฤษฎีบทของวิลสัน)
• สำหรับจำนวนประกอบ ทุกจำนวนที่มากกว่า 4 (ทฤษฎีบทประกอบ

ที่มา http://th.wikipedia.org/wiki/%E0%B8%88%E0%B8%B3%E0%B8%99%E0%B8%A7%E0%B8%99%E0%B8%9B%E0%B8%A3%E0%B8%B0%E0%B8%81%E0%B8%AD%E0%B8%9A

จำนวนเฉพาะ

จำนวนเฉพาะ
การหาจำนวนเฉพาะไม่ใช่เรื่องยาก หากจำนวนดังกล่าวยังอยู่ในวงจำนวนไม่เกินสองหลัก เช่น จำนวนเฉพาะห้าจำนวนต่อไปถัดจาก 2 คือ 3, 5, 7, 11 และ 13 ตามลำดับ จำนวนเฉพาะจำนวน ต่อไปถัดจาก 13 คือ 17 จำนวนเฉพาะจำนวนต่อไปถัดจาก 41 คือ 43 เป็นต้น อย่างไรก็ดี เมื่อพิจารณาเส้นจำนวนจะเห็นได้ว่า การกระจายของจำนวนเฉพาะบนเส้นจำนวนนั้นไม่มีรูปแบบที่แน่นอน บางทีเราพบจำนวนเฉพาะที่เกาะกลุ่มกัน เช่น 2, 3, 5, 7 แต่บางครั้งเราก็พบจำนวนเฉพาะที่ทิ้งช่วงห่างกัน เช่น 61, 71 นักคณิตศาสตร์ได้พยายามค้นหาวิธีการที่จะได้มาซึ่งข้อสรุปเกี่ยวกับระยะห่างระหว่างจำนวนเฉพาะ p และจำนวนเฉพาะที่อยู่ถัดไปบนเส้นจำนวน

ประมาณปลายเดือนมีนาคม 2546 นี้เอง Dan Goldston จาก San Jose State University และ Cem Yalcin Yildrim จาก Bogazici University ประเทศตุรกี ได้นำเสนอบทพิสูจน์อันจะนำไปสู่คำตอบเกี่ยวกับระยะห่างระหว่างจำนวนเฉพาะ และนำไปสู่การพิสูจน์ “Twin Prime Conjecture” ที่กล่าวไว้ว่า Twin Primes หรือ จำนวนเฉพาะคู่ที่มีผลต่างกันอยู่สองนั้นมีจำนวนมากมายไม่มีที่สิ้นสุด นักคณิตศาสตร์ทั้งสองท่านได้นำเสนอผลงานดังกล่าว ณ สถาบันคณิตศาสตร์อเมริกัน (American Institute of Mathematics) การค้นพบดังกล่าวเป็นที่กล่าวขวัญกันอย่างมากในวงการคณิตศาสตร์

หนึ่งเดือนถัดมา Andrew Granville จาก Universite de Montreal และ K. Soundararajan จาก the University of Michigan ได้พบจุดบกพร่องในบทพิสูจน์ของ Goldston และ Yildrim ว่าพจน์ที่กำหนดให้เป็นค่าความคลาดเคลื่อน มีขนาดเดียวกับพจน์หลัก จึงทำให้บทพิสูจน์ดังกล่าวยังไม่ครบถ้วนสมบูรณ์

อย่างไรก็ดี สิ่งที่ Goldston และ Yildrim ได้ค้นพบนั้นทำให้การพิสูจน์ Twin Primes Conjecture เข้าใกล้ความจริงมากขึ้น นักคณิตศาสตร์ทั่วโลกต่างหวังว่าในที่สุด Goldston และYildrim เอง หรือนักคณิตศาสตร์ท่านอื่น ๆ จะสามารถแก้ไขจุดบกพร่องในบทพิสูจน์ดังกล่าว และสามารถพิชิต Twin Primes Conjecture ซึ่งมีอายุกว่าร้อยปีและยังไม่มีใครพิสูจน์ได้เสียที


ตรวจสอบวิธีการตรวจความเป็นจำนวนเฉพาะ

สมมติมีคำถามว่า 331 เป็นจำนวนเฉพาะหรือเปล่า ? ทุกคนก็คงจะเริ่มด้วยการประมาณค่ารากที่สองของ 331 ซึ่งได้ประมาณเกือบๆ 18 จากนั้นก็เริ่มเอาจำนวนเฉพาะไปหาร 331 ดู โดยเริ่มจาก 2 3 5 7 ไปเรื่อยๆ แต่พอเราลองไปจนถึง 17 แล้วยังไม่มีจำนวนเฉพาะสักตัวหาร 331 ลงตัว เราก็หยุดและสรุปว่า 331 เป็นจำนวนเฉพาะ โดยไม่ต้องลองเอาจำนวนเฉพาะอื่นๆ ไปหาร 331 อีกต่อไป มีวิธีคิดดังนี้คือ

ให้ n เป็นจำนวนนับใดๆ (n เป็นจำนวนเฉพาะหรือไม่ก็เป็นจำนวนประกอบเพียงอย่างใดอย่างหนึ่ง)


สมมติว่า n เป็นจำนวนประกอบ

จำนวนประกอบคือจำนวนที่มีจำนวนอื่นนอกจาก 1 และตัวมันเองที่หารมันลงตัว

ดังนั้นมีจำนวนนับ a โดย a หาร n ลงตัว และ 1 < a < n

นั่นคือจะมีจำนวนนับ b ที่ 1 < b < n และ n = a * b

โดยไม่เสียนัยสำคัญกำหนดให้ a <= b (ถ้า a > b ก็ให้สลับค่า a กับ b)

สังเกตว่า a = รากที่สองของ a2 ≤ รากที่สองของ (a*b) = รากที่สองของ n
สรุปก็คือ ถ้า n เป็นจำนวนประกอบแล้วจะต้องมีจำนวนนับที่มีค่าน้อยกว่าหรือเท่ากับรากที่สองของ n ที่หาร a ลงตัว ถ้าไม่อย่างนั้น n ก็เป็นจำนวนเฉพาะ

ที่มา http://forum.02dual.com/index.php?topic=390.0

การแก้สมการ

การแก้สมการ คือ การหาคำตอบของสมการ หรือการหาค่าของตัวแปรซึ่งทำให้สมการนั้นเป็นจริง
คำสั่งที่ใช้ในการแก้สมการ นิยมใช้คำสั่งดังนี้
จงแก้สมการ 5x + 2 = 17
จงหาคำตอบของสมการ 5x + 2 = 17
จงหาค่าของ x ที่ทำให้สมการ 5x + 2 = 17 เป็นจริง
จากสมการ 5x + 2 = 17 จงหาค่าของตัวแปร

การแก้สมการทำได้ 2 วิธีดังนี้
การแทนค่าตัวแปร
การใช้คุณสมบัติของการเท่ากัน

การแทนค่าตัวแปร

โดยการทดลองแทนค่าของตัวแปรในสมการ ถ้านำจำนวนใดมาแทนค่าของตัวแปรในสมการนั้น แล้วทำให้สมการนั้นเป็นจริง แสดงว่าจำนวนนั้นเป็นคำตอบของสมการ และถ้านำจำนวนใดมาแทนค่าของตัวแปรในสมการนั้น แล้วทำให้สมการเป็นเท็จ แสดงว่าจำนวนนั้นไม่เป็นคำตอบของสมการ ดังตัวอย่าง

สมการ y + 6 = 21 แทน y ด้วย 15
จะได้ 15 + 6 = 21 สมการเป็นจริง
ดังนั้น คำตอบของสมการ คือ 15

สมการ 5x + 2 = 17 แทน x ด้วย 3
จะได้ ( 5 x 3 ) + 2 = 17
15 + 2 = 17 สมการเป็นจริง
ดังนั้น คำตอบของสมการ คือ 3

การใช้คุณสมบัติของการเท่ากันการใช้คุณสมบัติของการเท่ากัน

โดยการนำคุณสมบัติการเท่ากันในเรื่อง การบวก การลบ การคูณ การหาร มาใช้ในการแก้สมการ (นักเรียนคลิกไปดูคุณสมบัติได้นะครับ) ดูวิธีการในตัวอย่างต่อไปนี้

จงแก้สมการ x - 12 = 18
วิธีทำ x - 12 = 18
นำ 12 มาบวกทั้งสองข้างของสมการ
x - 12 + 12 = 18 + 12 (คุณสมบัติการบวก)
x = 30
ตรวจสอบคำตอบ โดยการแทนค่า x ด้วย 30
ในสมการ x - 12 = 18
จะได้ 30 - 12 = 18 สมการเป็นจริง
ดังนั้น คำตอบของสมการ คือ 30

จงแก้สมการ 7x + 8 = 36
วิธีทำ 7x + 8 = 36
นำ 8 มาลบทั้งสองข้างของสมการ
7x + 8 - 8 = 36 - 8 (คุณสมบัติการลบ)
7x = 28
นำ 7 มาหารทั้งสองข้างของสมการ
(คุณสมบัติการหาร)
x = 4
ตรวจสอบคำตอบ โดยการแทนค่า x ด้วย 4
ในสมการ 7x + 8 = 36
จะได้ (7 x 4) + 8 = 36
28 + 8 = 36 สมการเป็นจริง
ดังนั้น คำตอบของสมการ คือ 4

http://blog.school.net.th/blogs/nuvavaza.php/2009/02/12/-123

ความน่าจะเป็น

ความน่าจะเป็น (Probability)

1. ความน่าจะเป็น คือ จำนวนที่แสดงให้ทราบว่าเหตุการณ์ใดเหตุการณ์หนึ่ง มี

โอกาสเกิดขึ้นมากหรือน้อยเพียงใด สิ่งที่จำเป็นต้องทราบและทำความเข้าใจคือ

1. แซมเปิลสเปซ (Sample Space )

2. แซมเปิลพ้อยท์ (Sample Point)

3. เหตุการณ์ (event)

4. การทดลองสุ่ม (Random Experiment)

2. แซมเปิลสเปซ (Sample Space ) เป็นเซตที่มีสมาชิกประกอบด้วยสิ่งที่ต้องการ ทั้งหมด จากการทดลองอย่างใดอย่างหนึ่ง บางครั้งเรียกว่า Universal Set

เขียนแทนด้วย S เช่น ในการโยนลูกเต๋าถ้าต้องการดูว่าหน้าอะไรจะขึ้นมาจะได้

S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }

3. แซมเปิลพ้อยท์ (Sample Point) คือ สมาชิกของแซมเปิลสเปซ (Sample Space )

เช่น S = {H , T } ค่า Sample Point คือ H หรือ T

4. เหตุการณ์ (event) คือ เซตที่เป็นสับเซตของ Sample Space หรือเหตุการณ์ที่เราสนใจ

จากการทดลองสุ่ม

5. การทดลองสุ่ม (Random Experiment) คือ การกระทำที่เราทราบว่าผลทั้งหมดที่อาจจะเกิดขึ้นมีอะไรบ้าง แต่ไม่สามารถบอกได้อย่างถูกต้องแน่นอนว่าจะเกิดผลอะไรจากผลทั้งหมดที่เป็นไปได้เหล่านั้น

6. ควา ความน่าจะเป็น = จำนวนผลของเหตุการณ์ที่สนใจ

จำนวนเหตุการณ์ทั้งหมดของการทดลองสุ่ม

P(E) = n(E)

n(S)

ข้อควรจำ

1. เหตุการณ์ที่แน่นอน คือ เหตุการณ์ที่มีความน่าจะเป็น = 1 เสมอ

2. เหตุการณ์ที่เป็นไปไม่ได้ คือ เหตุการณ์ที่มีความน่าจะเป็น = 0

3. ความน่าจะเป็นใด ๆ จะมีค่าไม่ต่ำกว่า 0 และ ไม่เกิน 1 เสมอ

4. ในก การทดลองหนึ่งสามารถทำให้เกิดผลที่ต้องการอย่างมีโอกาสเท่ากันและมีโอกาสเกิดได้ N สิ่ง และเหตุการณ์ A มีจำนวนสมาชิกเป็น n ดังนั้นความน่าจะเป็นของ A คือ P(A) = nN

7. คุณสมบัติของความน่าจะเป็น

ให้ A เป็นเหตุการณ์ใด ๆ และ S เป็นแซมเปิลสเปซ โดยที่ A Ì S

1. 0 £ P(A) £ 1

2. ถ้า A = 0 แล้ว P(A) = 0

3. ถ้า A = S แล้ว P(A) = 1

4. P(A) = 1 - P(A^/) เมื่อ A^/ คือ นอกจาก A

8. คุณสมบัติของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ 2 เหตุการณ์

ให้ A และ B เป็นเหตุการณ์ 2 เหตุการณ์

1. P(A ÈB) = P(A) + P(B) - P(AÇB)

2. P(AÈB) = P(A) + P(B) เมื่อ AÇB = 0

ในกรณีนี้เรียก A และ B ว่า เป็นเหตุการณ์ที่ไม่เกิดร่วมกัน (Mutually exclusive events)

ที่มา www.tutormaths.com/mathapa17.doc

ตรรกศาสตร์ (Elementary of Symbolic Logic)

ตรรกศาสตร์ (Elementary of Symbolic Logic)

ความหมายของตรรกศาสตร์

                คือ หลักเกณฑ์การคิดหาเหตุผล เป็นสาขาหนึ่งของวิชาปรัชญา มีมาตั้งแต่สมัยอริสโตเติล เพื่อทำให้ศึกษาตรรกศาสตร์ได้ง่ายขึ้น จึงใช้สัญลักษณ์ (Symbol) แทนข้อความ (Statement)

ความหมายของค่าความจริง (Truth Value)

                คือ ความที่ถูกต้องหรือไม่ถูกต้องก็ได้ในสิ่งที่เรากล่าวถึง ค่าความจริง มี 2 ชนิดคือ

1.             1. ค่าความจริงที่เป็นจริง เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ T (True) หรือแทนด้วยสัญลักษณ์ทางไฟฟ้าและระบบคอมพิวเตอร์เป็น 1

2.             2. ค่าความจริงที่มีค่าเป็นเท็จเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ F (False) หรือแทนด้วยสัญลักษณ์ไฟฟ้าและระบบคอมพิวเตอร์เป็น 0

ประพจน์ (Proposition)

                คือ ข้อความที่เป็นจริงหรือเท็จอย่างใดอย่างหนึ่งเท่านั้น อาจเป็นประโยคบอกเล่าหรือประโยคปฏิเสธที่มีค่าความจริงเป็นจริง หรือค่าความจริงเป็นเท็จเพียงอย่างใดอย่างหนึ่ง

                องค์ประกอบของประพจน์ ประกอบด้วย ภาคประธาน+กริยาเชื่อมต่อ+ภาคลักษณะ (กรรม)

 การเชื่อมประพจน์

ตัวเชื่อมในทางตรรกศาสตร์มี5 ชนิด คือ

1. 1. ไม่, ไม่ใช่ (Not) ใช้สัญลักษณ์–

2. 2. และ (And) ใช้สัญลักษณ์ ^

3. 3. หรือ (Or) ใช้สัญลักษณ์ v

4. 4. ถ้า…แล้ว (If…then) ใช้สัญลักษณ์

5. 5. ก็ต่อเมื่อ (If and only if) ใช้สัญลักษณ์

 ตารางค่าความจริง(Truth table)

คือ ตารางที่แสดงค่าความจริงที่เป็นไปได้ทั้งหมดของประพจน์ ค่าความจริงในตารางจะมีกี่กรณีนั้นขึ้นอยู่กับจำนวนประพจน์ คือ นำค่า 2 ยกกำลังจำนวนประพจน์

 ที่มาhttp://wanchai.hi.ac.th/3204-2003/Comsys4.htm