วันพุธที่ 8 กุมภาพันธ์ พ.ศ. 2555

อุปนัยเชิงคณิตศาสตร์

วิธีอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์(Mathematical Induction)

ข้อความในทางคณิตศาสตร์จะมีข้อความที่เกี่ยวกับจำนวนเต็มบวกหลายข้อความ ซึ่งสามารถ
ที่จะพิสูจน์ข้อความเหล่านี้ว่าเป็นจริงโดยใช้วิธีการพิสูจน์ที่เรียกว่าวิธีอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์และก่อนที่จะกล่าวถึงวิธีการพิสูจน์แบบนี้จะขอกล่าวถึงคุณสมบัติที่สำคัญของจำนวนเต็มบวกที่จะนำมาใช้ก่อน
1.1 หลักการลำดับอย่างดี (Well-OrderingPrinciple) กล่าวว่า “สำหรับทุก ๆเซตย่อยของจำนวนเต็มบวก
N ที่ไม่เป็นเซตว่างจะมีจำนวนที่มีค่าน้อยที่สุดอยู่หนึ่งตัวเสมอ”
ตัวอย่าง กำหนดให้ A ={2,7,8,11} จะได้ว่า AÌ N และ Aมีสมาชิกที่มีค่าน้อยที่สุด คือ 2

ทฤษฎีบท
1.1.1 กำหนดให้ N เป็นเซตของจำนวนเต็มบวก ถ้าS เป็นเซตที่ S Ì N และมีคุณสมบัติ
ดังต่อไปนี้
1. 1Î S
และ 2. สำหรับจำนวนเต็มบวกk ใด ๆ ถ้า k ÎS แล้วk + 1 ÎS จะได้ว่า S = N
พิสูจน์ สมมติว่า S ¹ N ดังนั้น จะมีจำนวนเต็มบวกอย่างน้อยหนึ่งตัวที่ไม่เป็นสมาชิกของS
ให้ U = { x çx ÎN แต่ x ÏS} จะได้ว่า U Ì N และU Ç S = f
เนื่องจาก
U ¹ f ดังนั้นจากหลักการลำดับอย่างดีจะได้ว่า U จะมีสมาชิกที่มีค่าน้อยที่สุด สมมติว่าเป็นm
นั่นคือ
ถ้า x Î U แล้ว m £ x เนื่องจาก m Î U จะได้ว่า m ÎS และโดยคุณสมบัติ ข้อ 1 จะได้ว่า m ¹ 1
ดังนั้น
m > 1 จะได้ว่า m – 1 > 0 และ m - 1 เป็นจำนวนเต็มบวก เนื่องจาก m เป็นสมาชิกของU ที่มีค่าน้อยที่สุดจะได้ว่า m - 1 เป็นจำนวนเต็มบวกที่ไม่เป็นสมาชิกของ U และ m – 1 < m ดังนั้น m – 1 Î S ให้ k = m – 1 จะได้ว่า k + 1 = m และโดยคุณสมบัติข้อ 2 จะได้ว่า m ÎS จะเห็นว่าm ÏS และ m ÎS ซึ่งเป็นไปไม่ได้
ดังนั้นS=N

ทฤษฎีบท
1.1.2 (หลักการอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ :Principle of Mathematical Induction)
ให้ P(n) แทนข้อความที่เกี่ยวกับจำนวนเต็มบวก n และมีคุณสมบัติดังต่อไปนี้
1. P(1) เป็นจริง
และ 2. สำหรับจำนวนเต็มบวก k ใด ๆ ถ้า P(k) เป็นจริงแล้ว P(k+1) เป็นจริงด้วย
จะได้ว่า P(n) เป็นจริงสำหรับทุก ๆ จำนวนเต็มบวก n

พิสูจน์ ให้ S = {m çP(m) เป็นจริง } จากที่กำหนดให้
จะได้ว่า 1. 1 Î S
และ 2. สำหรับจำนวนเต็มบวก k ใด ๆ ถ้า k Î S แล้ว k + 1 Î S
ดังนั้น โดยทฤษฎีบท 1.1.1
จะได้ว่า S = N
นั่นคือ P(n) เป็นจริงสำหรับทุก ๆ จำนวนเต็มบวก n

ทฤษฎีบท
1.1.3 (หลักอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์) ให้ P(n) แทนข้อความที่เกี่ยวกับจำนวนเต็มn
³ n0 เมื่อ n0 เป็นจำนวนเต็ม และมีคุณสมบัติดังต่อไปนี้
1. P(n0) เป็นจริง
และ 2. สำหรับจำนวนเต็ม k> n0 ถ้า P(k) เป็นจริง แล้ว P(k+1) เป็นจริงด้วย
จะได้ว่า P(n) เป็นจริงสำหรับทุก ๆ จำนวนเต็ม n ³ n0
ที่มา:http://th.tni.wikia.com/wiki/

ค่าฐานนิยม

ค่าฐานนิยม (Mode : Mo)

ค่าฐานนิยมเป็นค่ากลางซึ่งจะนำมาใช้ในกรณีที่ข้อมูลมีการซ้ำกันมากๆจนผิดปกติ
ซึ่งค่าฐานนิยมจะเป็นค่ากลางหรือตัวแทนของข้อมูลที่สามารถอธิบายลักษณะที่เกิดขึ้นได้ดีกว่าค่าเฉลี่ยเลขคณิตและค่ามัธยฐาน
นอกจากนี้ค่าฐานนิยมยังมีข้อพิเศษมากกว่าค่าเฉลี่ยและมัธยฐาน
ตรงที่สามารถใช้ได้กับข้อมูลที่เป็นข้อมูลเชิงคุณภาพ(Qualitative)
และข้อมูลเชิงปริมาณ(Quantitative) และค่าฐานนิยมยังสามารถมีค่าได้มากกว่า 1 ค่าอีกด้วย
การหาค่าฐานนิยม(Mo)
เมื่อข้อมูลไม่ได้มีการแจกแจงความถี่ในกรณีที่ข้อมูลไม่ได้มีการแจกแจงความถี่
วิธีการหาค่าฐานนิยม(Mo) สามารถทำได้โดยการนับจำนวนข้อมูล
ซึ่งข้อมูลชุดใดมีจำนวนซ้ำกันมากที่สุดก็จะเป็นค่าฐานนิยม
ตัวอย่าง จงหาค่าฐานนิยมจากข้อมูลชุดนี้
25,19,32,29,19,21,22,21,19,20,19,22,23,20
วิธีทำ ฐานนิยม(Mo) = ค่าที่ซ้ำกันมากที่สุด = 19
ฐานนิยม (Mo) ของข้อมูลชุดนี้มีค่าเท่ากับ 19
จงหาฐานนิยมของข้อมูลต่อไปนี้ 3, 2, 4, 5, 6, 4, 8, 4, 7, 10
ข้อมูลที่ซ้ำกันมากที่สุดคือ 4
ฐานนิยมคือ 4
ข้อมูลบางชุดอาจมีฐานนิยม 2 ค่า เช่น 10, 14, 12, 10, 11, 13, 12, 14, 12, 10
ข้อมูลที่ซ้ำกันมากที่สุดคือ 10 กับ 12
ฐานนิยม คือ 10 กับ 12
ข้อมูลบางชุดอาจจะไม่มีฐานนิยมซึ่ง ได้แก่ ข้อมูลที่มีรายการซ้ำจำนวนเท่ากันหลายชุด
เช่น 5, 2, 3, 4, 7, 8, 2, 3, 5, 9, 10, 2, 3, 5, 7, 9, 8, 7, 8
ข้อมูลที่ไม่มีรายการซ้ำกันเลย เช่น 8, 9, 10, 11, 13, 15
ที่มา:http://reg.ksu.ac.th/Teacher/kanlaya/3.4.html
http://www.thaigoodview.com/node/50738

การหารลงตัว

การหารลงตัว
บทนิยามกำหนด a, b เป็นจำนวนเต็มใดๆ โดยที่ b ≠ 0 b หาร a ลงตัว ก็ต่อเมื่อ มีจำนวนเต็ม n ที่ทำให้
a = bn และเขียนแทน “b หาร a ลงตัว” ได้ด้วยสัญลักษณ์ b a
จากบทนิยาม ถ้า b หาร a ไม่ลงตัว แสดงว่าไม่มีจำนวนเต็ม n ที่ทำให้ a = bn และ เขียนแทน “b หาร a ไม่ลงตัว”ได้ด้วยสัญลักษณ์ b † a
ตัวอย่างเช่น3 9 เพราะมี n = 3 ที่ทำให้ 9 = 3n
-5 10 เพราะมี n = -2 ที่ทำให้ 10 = +5n
6 0 เพราะมี n = 0 ที่ทำให้ 0 = 6n
สมบัติการหารลงตัว
ทฤษฎีบทที่ 1กำหนด a, b, c เป็นจำนวนเต็มใดๆ
ถ้า a b และ b c แล้วจะได้ a c
ทฤษฎีบทที่ 2 กำหนด a, b เป็นจำนวนเต็มบวก
ถ้า a b แล้วจะได้ a ≤ b
ทฤษฎีบทที่ 3 กำหนด a, b, c เป็นจำนวนเต็มใดๆ
ถ้า a b และ b c แล้วจะได้ a bx + cy
เมื่อ x, y เป็นจำนวนเต็มใดๆ
การจำแนกจำนวนเต็มบวกโดยใช้สมบัติการหารลงตัว
1.จำนวนเฉพาะ (Prime Numbers)
บทนิยามจำนวนเต็ม p จะเป็นจำนวนเฉพาะ ก็ต่อเมื่อ p ≠ 0, p ≠ 1, p ≠ -1 และถ้ามีจำนวนเต็มที่หาร p ลงตัว จำนวนเต็มนั้นต้องเป็นสมาชิกของ {-1, 1, p, -p}
2.จำนวนประกอบ (Composite Numbers)
บทนิยามจำนวนเต็ม c เป็นจำนวนเต็มบวกที่มากกว่า 1 จะเป็นจำนวนประกอบ ก็ต่อเมื่อ c ไม่ใช่จำนวนเฉพาะ
นั่นคือ สำหรับจำนวนเต็มบวก c ใดๆ c จะเป็นจำนวนประกอบ ก็ต่อเมื่อ มีจำนวนเต็ม m และ n ที่ต่างจาก c ที่ทำให้ c = mn
ตัวอย่างเช่น
จำนวนที่หาร 2 ลงตัว ได้แก่ {-1, 1, 2, -2} ∴ 2 เป็นจำนวนเฉพาะ
จำนวนที่หาร 3 ลงตัว ได้แก่ {-1, 1, 3, -3} ∴ 3 เป็นจำนวนเฉพาะ
จำนวนที่หาร 4 ลงตัว ได้แก่ {-4, -2, -1, 1, 2, 4} ∴ 4 ไม่เป็นจำนวนเฉพาะ
• ขั้นตอนวิธีการหาร
ถ้า a และ b เป็นจำนวนเต็ม โดยที่ b ≠ 0 แล้วจะมี q และ r ซึ่งเป็นจำนวนเต็มที่ทำให้ a = bq + r เมื่อ 0 r bนั่นคือ a เป็นตัวตั้งหารด้วย b ได้ผลหารคือ q และเศษ r
ตัวอย่างที่ 1กำหนด a = 48, b = 7
จงหา q และ rเขียนให้อยู่ในรูปa = bq + r
48 = 7 × 6 +6
∴q = 6 และ r = 6

ตัวหารร่วม
กำหนด a และ b เป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นศูนย์ เรียกจำนวนเต็ม c ซึ่ง c a และ c b ว่าเป็น “ตัวหารร่วม” ของ a และ b
ตัวหารร่วมมาก
กำหนด a และ b เป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นศูนย์พร้อมกัน เรียกจำนวนเต็มบวก d ที่มีค่ามากที่สุด ซึ่ง d a และ d b ว่าเป็น “ตัวหารร่วมมาก”(ห.ร.ม.) ของ a และ b เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ (a, b)

ตัวอย่างเช่นจงหา ห.ร.ม. ของ 36 และ 48
วิธีทำตัวหารร่วมของ 36
ได้แก่ ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±9, ±12, ±18, ±36
ตัวหารร่วมของ 48
ได้แก่ ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±8, ±12, ±16, ±24, ±48
∴ตัวหารร่วมที่เป็นบวกของ 36 และ 48 ได้แก่ 1, 2, 3, 4, 6, 12
∴ตัวหารร่วมที่เป็นบวกของ 36 และ 48 ที่มีค่ามากที่สุด คือ12 นั่นคือ ห.ร.ม. ของ 36 และ 48 คือ 12
ที่มา:http://www.blogger.com/post-create.g

ประวัตินักคณิตศาสตร์ของโลก

ประวัตินักคณิตศาสตร์ของโลก
ยุคลิดแห่งอะเล็กซานเดรีย (Euclid of Alexandria) ประมาณ 450 - 3800 ก่อนคริสต์ศักราช ประวัติ
ยุคลิคเป็นชาวกรีก ศึกษาที่สถาบันของ Plato ที่กรุงเอเธนส์ ท่านได้รับการ
แต่งตั้งเป็นศาสตราจารย์และหัวหน้าภาควิชาคณิตศาสตร์คนแรกที่มหาวิทยาลัยอะเล็กซานเดรีย
ซึ่งเป็นมหาวิทยาลัยแห่งแรกในโลก ตั้งขึ้นประมาณ 300 ปีก่อนคริสต์ศักราช
ผลงาน
ผลงานชิ้นสำคัญของยุคลิดคือการเขียนตำราทางคณิตศาสตร์และดาราศาสตร์
ผลงานที่ยังคงอยู่ในปัจจุบัน 5 ชิ้น คือ Division of Figures , Data , Phaenomena ,
Optic และ Elements Elements ประกอบด้วยหนังสือ 13 เล่ม และทฤษฎีบท 465 ทฤษฎีบท
เป็นต้น แบบของตำราคณิตศาสตร์ โดยใช้วิธีนิรนัย (Deduction)
เนื้อหาส่วนใหญ่จะเกี่ยวกับเรขาคณิต แบบยุคลิด แต่ก็มีเนื้อหาคณิตศาสตร์อื่น ๆ ด้วย
โดยเฉพาะอย่างยิ่งทฤษฎีจำนวน
ปีทาโกรัส (Pythagoras)
ประมาณ 572 - 500 ก่อนคริสต์ศักราช ประวัติ ปีทาโกรัสเป็นชาวกรีก เกิดที่เกาะซามอสใกล้กับเอเซียไมเนอร์
เนื่องจากทรราช Polycrates ท่านจำต้องออกจากเกาะซามอส กล่าวกันว่าท่านเคยศึกษาที่อียิปต์และ เป็นศิษย์ของทาลิส ปีทาโกรัสได้ก่อตั้งสำนักปิทาโกเรียน ที่เมือง Crotona ซึ่งอยู่ทางตอนใต้ของ
ประเทศอิตาลี ปีทาโกรัสคิดว่าปริมาณต่าง ๆ ในธรรมชาติสามารถเขียนในรูปเศษส่วนของ จำนวนนับ
จนมีคำขวัญของสำนักว่า "ทุกสิ่งคือจำนวนนับ"
เมื่อมีการค้นพบจำนวนอตรรกยะขึ้น ทำให้ปีทาโกรัสและศิษย์ทั้งหลายเสียขวัญและกำลังใจ
เมื่อทางราชการขับไล่เพราะกล่าวหาว่า สำนักปีทาโกเรียนเป็นสถาบันศักดินา
สำนักปีทาโกเรียนก็สูญสลายไป ผลงาน เราไม่ทราบแน่ชัดว่าผลงานชิ้นใดเป็นของปีทาโกรัส
ชิ้นใดเป็นของลูกศิษย์ จึงกล่าวรวม ๆ ว่าเป็นของสำนักปีทาโกเรียน ซึ่งมีดังนี้ :-
1. จำนวนคู่และจำนวนคี่
2. ค้นพบความสัมพันธ์ระหว่างเศษส่วนกับทฤษฎีของดนตรี
3. จำนวนเชิงรูปเหลี่ยม เช่น จำนวนเชิงสามเหลี่ยม , จำนวนเชิงจตุรัส
4. จำนวนอตรรกยะ
5. พีชคณิตเชิงเรขาคณิต
6. พิสูจน์ทฤษฎีบทปีทาโกรัส
ประมาณ ค.ศ.1707 - 1783 ประวัติ
เลออนฮาร์ด ออยเลอร์ (Leonhard Euler)
( 15 เมษายน พ.ศ. 2250 - 18 กันยายน พ.ศ. 2326 ) เป็น นักคณิตศาสตร์ และ นักฟิสิกส์
ชาวสวิส เขาได้ชื่อว่าเป็นนักคณิตศาสตร์ที่ยิ่งใหญ่ที่สุดคนหนึ่งเท่าที่เคยมี เลออนฮาร์ด ออยเลอร์ เป็นคนแรกที่ใช้คำว่า " ฟังก์ชัน " (ตามคำนิยามของ ไลบ์นิซ ใน ค.ศ. 1694) ในการบรรยายถึงความสัมพันธ์ ที่เกี่ยวข้องกับตัวแปร เช่น y = F( x ) เขายังได้ชื่อว่าเป็นคนแรกที่ประยุกต์ แคลคูลัส เข้าไปยังวิชา
ฟิสิกส์ ออยเลอร์เกิดและโตในเมือง บาเซิล เขาเป็นเด็กที่มีความเป็นอัจริยะทางคณิตศาสตร์
เขาเป็นศาสตราจารย์สอนวิชาคณิตศาสตร์ที่ เซนต์ปีเตอร์สเบิร์ก และต่อมาก็สอนที่ เบอร์ลิน และได้ย้อนกลับไปยังเซนต์ปีเตอร์สเบิร์กอีกครั้ง เขาเป็นนักคณิตศาสตร์มีผลงานมากมายที่สุดคนหนึ่ง ผลงานทั้งหมดของเขารวบรวมได้ถึง 75 เล่ม ผลงานของเขามีอิทธิพลอย่างมากต่อผลงานทางคณิตศาสตร์ในศตวรรษที่ 18
เขาต้องสูญเสียการมองเห็น และตาบอดสนิทตลอด 17 ปีสุดท้ายในชีวิตของเขา
ซึ่งในช่วงนี้เองที่เขาสามารถผลิตผลงานได้ถึงเกือบครึ่งหนึ่งของผลงานทั้งหมดของเขา
ดาวเคราะห์น้อย 2002 ออยเลอร์ ได้ถูกตั้งชื่อเพื่อเป็นเกียรติแก่เขา
ที่มา:http://std.kku.ac.th/5050200391/history3.php

ตัวหารร่วมมาก

ในคณิตศาสตร์ ตัวหารร่วมมาก หรือ ห.ร.ม. (อังกฤษ: greatest common divisor: gcd) ของจำนวนเต็มสองจำนวนซึ่งไม่เป็นศูนย์พร้อมกัน คือจำนวนเต็มที่มากที่สุดที่หารทั้งสองจำนวนลงตัวตัวหารร่วมมากของ a และ b เขียนแทนด้วย gcd (a, b) หรือบางครั้งเขียนว่า (a, b) เช่น gcd (12, 18) = 6, gcd (−4, 14) = 2 และ gcd (5, 0) = 5 จำนวนสองจำนวนจะถูกเรียกว่า จำนวนเฉพาะสัมพัทธ์ ถ้าตัวหารร่วมมากเท่ากับ 1 เช่น 9 และ 28 เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์ตัวหารร่วมมากมีประโยชน์ในการทำเศษส่วนให้เป็นเศษส่วนอย่างต่ำ
การหา ห.ร.ม.
การหาตัวหารร่วมมาก ทำได้ด้วยการแยกตัวประกอบของจำนวนสองจำนวน และเปรียบเทียบตัวประกอบ ตัวอย่างเช่น gcd (18,84) เราจะแยกตัวประกอบ 18 = 2·32 และ 84 = 22·3·7 สังเกตว่านิพจน์ที่"ซ้อน"กันคือ 2·3 ดังนั้น gcd (18,84) = 6 ในทางปฏิบัติ วิธีนี้จะทำได้สำหรับจำนวนที่น้อยๆเท่านั้น เพราะการแยกตัวประกอบโดยทั่วไปนั้นจะยาวเกินไปวิธีที่มีประสิทธิภาพกว่าคือ อัลกอริทึมของยุคลิด: หาร 84 ด้วย 18 จะได้ผลหารเท่ากับ 4 และเศษเหลือเท่ากับ 12 จากนั้นหาร 18 ด้วย 12 จะได้ผลหารเท่ากับ 1 และเศษเหลือเท่ากับ 6 จากนั้นหาร 12 ด้วย 6 จะได้เศษเหลือเท่ากับ 0 ซึ่งหมายความว่า 6 เป็น ห.ร.ม.
คุณสมบัติ
ตัวหารร่วมของ a และ b จะเป็นตัวหารของ gcd (a, b)gcd (a, b) เมื่อ a และ b ไม่เป็นศูนย์พร้อมกัน จะเป็นจำนวนเต็มบวก d ที่น้อยที่สุดที่สามารถเขียนในรูป d = a·p + b·q เมื่อ p และ q เป็นจำนวนเต็ม จำนวน p และ q สามารถคำนวณได้จากอัลกอริทึมของยุคลิดเพิ่มเติมถ้า a หาร b·c ลงตัว และ gcd (a, b) = d แล้ว a/d หาร c ลงตัวถ้า m เป็นจำนวนเต็มใดๆแล้ว gcd (m·a, m·b) = m·gcd (a, b) และ gcd (a + m·b, b) = gcd (a, b) ถ้า m เป็นตัวหารร่วมของ a และ b แล้ว gcd (a/m, b/m) = gcd (a, b) /mห.ร.ม.เป็นฟังก์ชันเชิงการคูณ กล่าวคือ ถ้า a1 และ a2 เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์แล้ว gcd (a1·a2, b) = gcd (a1, b) ·gcd (a2, b)ห.ร.ม.ของจำนวนสามจำนวน หาได้จาก gcd (a, b, c) = gcd (gcd (a, b) , c) = gcd (a, gcd (b, c)) นั่นคือ ห.ร.ม.มีสมบัติการเปลี่ยนหมู่gcd (a, b) นั้นมีความเกี่ยวข้องกับตัวคูณร่วมน้อย lcm (a, b) : จะได้ว่าgcd (a, b) ·lcm (a, b)
= a·b.สูตรนี้มักถูกใช้เพื่อคำนวณค่าคูณร่วมน้อย โดยเริ่มด้วยการหา ห.ร.ม. โดยใช้อัลกอริทึมของยุคลิด จากนั้นหารผลคูณของตัวเลขทั้งสองด้วย ห.ร.ม. คุณสมบัติการกระจายด้านล่างนี้เป็นจริง
:gcd (a, lcm (b, c)) = lcm (gcd (a, b) , gcd (a, c))lcm (a, gcd (b, c)) = gcd (lcm (a, b) , lcm (a, c))
การนิยามให้ gcd (0, 0) = 0 และ lcm (0, 0) = 0 นั้นมีประโยชน์เนื่องจากจะทำให้เซตของจำนวนธรรมชาติเป็นแลตทิซแบบกระจายที่บริบูรณ์ โดยที่ ห.ร.ม. เป็นการดำเนินการ meet และ ค.ร.น. เป็นการดำเนินการ join การขยายนิยามนี้สอดคล้องกับนัยทั่วไปของนิยามสำหรับริงสลับที่ด้านล่างในระบบพิกัดคาร์ทีเซียน gcd (a, b) สามารถตีความว่าเป็นจำนวนของจุดที่มีพิกัดเป็นจำนวนเต็มบนเส้นตรงที่เชื่อมจุด (0, 0) และจุด (a, b) โดยที่ไม่นับ
จุด (0, 0)
ห.ร.ม. ในริงสลับที่
ห.ร.ม. สามารถนิยามให้กว้างขึ้นสำหรับสมาชิกของริงสลับที่ถ้า R เป็นริงสลับที่ และให้ a และ b อยู่ใน R
จะเรียกสมาชิก d ที่อยู่ใน R ว่า ตัวหารร่วมของ a และ b ถ้ามันหาร a และ b ลงตัว (กล่าวคือ ถ้ามีสมาชิก x และ y ใน R ที่ทำให้ d·x = a และ d·y = b) ถ้า d เป็นตัวหารร่วมของ a และ b และตัวหารร่วมทุกตัว
ของ a และ b หาร d ลงตัว จะเรียก d ว่าเป็น ตัวหารร่วมมากของ a และ bสังเกตว่าจากนิยามนี้ สมาชิก a และ b อาจมี ห.ร.ม. หลายค่า หรือไม่มี ห.ร.ม. เลย แต่ถ้า R เป็นโดเมนจำนวนเต็ม (integral domain) แล้ว ห.ร.ม. สองตัวใด ๆ ของ a และ b ต้องเป็นสมาชิก associate ถ้า R เป็นโดเมน unique factorization
แล้ว สมาชิกใด ๆ สองสมาชิกจะมี ห.ร.ม. เสมอ และถ้า R เป็นโดเมนยุคลิเดียน (Euclidean domain) แล้ว อัลกอริทึมของยุคลิดสามารถปรับใช้หา ห.ร.ม. ได้
ที่มา:http://th.wikipedia.org/wiki/

ปริมาณเวกเตอร์และปริมาณสเกล่าร์

ปริมาณเวกเตอร์และปริมาณสเกล่าร์
ปริมาณกายภาพแบ่งออกได้ 2 ประเภท
1. ปริมาณสเกล่าร์ คือปริมาณที่บอกแต่ขนาดอย่างเดียวก็ได้ความหมายสมบูรณ์ ไม่ต้องบอกทิศทาง เช่น
ระยะทาง มวล เวลา ปริมาตร ความหนาแน่น งาน พลังงานฯลฯการหาผลลัพธ์ของปริมาณสเกล่าร์ ก็อาศัยหลังการทางพีชคณิต คือ วิธีการบวก ลบ คูณ หาร
2. ปริมาณเวกเตอร์ คือปริมาณที่ต้องบอกทั้งขนาดและทิศทาง จึงจะได้ความหมายสมบูรณ์ เช่น การกระจัด
ความเร่ง ความเร็ว แรง โมเมนตัม ฯลฯการหาผลลัพธ์ของปริมาณเวกเตอร์ต้องอาศัยวิธีการทางเวคเตอร์
โดยต้องหาผลลัพธ์ทั้งขนาดและทิศทางปริมาณเวกเตอร์
1.สัญลักษณ์ของปริมาณเวกเตอร์ใช้อักษรมีลูกศรครึ่งบนชี้จากซ้ายไปขวาหรือใช้ตัวอักษรทึบแสดงปริมาณเวกเตอร์ก็ได้
2. เวกเตอร์ที่เท่ากันเวกเตอร์ 2เวกเตอร์เท่ากัน เมื่อเวกเตอร์ทั้งสองเท่ากันและมีทิศไปทางเดียวกัน
3.เวกเตอร์ลัพธ์ใช้อักษร R
4. การบวก-ลบเวกเตอร์การบวก-ลบเวกเตอร์หรือการหาเวกเตอร์ สามารถทำได้ 2 วิธี
คือ1. วิธีการเขียนรูป 2.วิธีการคำนวณ
1.1การหาเวกเตอร์ลัพธ์โดยวิธีการเขียนรูปแบบหางต่อหัว มีขั้นตอนดังนี้
(1)เขียนลูกศรตามเวกเตอร์แรกตามขนาดและทิศทางที่กำหนด
(2) นำหางลูกศรของเวกเตอร์ที่2 ที่โจทย์กำหนด ต่อหัวลูกศรของเวกเตอร์แรก
(3) นำหางลูกศรของเวกเตอร์ที่ 3ที่โจทย์กำหนด ต่อหัวลูกศรของเวกเตอร์ที่ 2
(4) ถ้ามีเวกเตอร์ย่อยๆอีกให้นำเวกเตอร์ต่อๆไป มากระทำดังข้อ (3) จนครบทุกเวกเตอร์
(5)เวกเตอร์ลัพธ์หาได้โดยการลากลูกศรจากหางของเวกเตอร์แรกไปยังหัวของเวกเตอร์สุดท้าย
เช่น
นิยาม ต้องทราบ ถ้า A เป็นเวกเตอร์ใดๆที่มีขนาดและทิศทางหนึ่งๆ เวกเตอร์ -A
คือ เวกเตอร์ที่มีขนาดเท่ากับเวกเตอร์ A แต่ มี ทิศทางตรงกันข้าม
1.2การหาเวกเตอร์ลัพธ์โดยวิธีการคำนวณเนื่องจากการหาเวกเตอร์ลัพธ์โดยวิธีการวาดรูปให้ผลลัพธ์
ไม่แม่นยำเพียงแต่ได้คร่าวๆ เท่านั้นเพราะถ้าลากความยาวหรือทิศทางลูกศรแทนเวกเตอร์คลาดเคลื่อนเพียงเล็กน้อยผลของเวกเตอร์ลัพธ์ก็จะคลาดเคลื่อนไปด้วยแต่การหาเวกเตอร์ลัพธ์โดยการคำนวณจะให้ผลลัพธ์ถูกต้องแน่นอนการหาเวกเตอร์ลัพธ์โดยวิธีการคำนวณ
เมื่อมีเวกเตอร์ย่อยเพียง 2 เวกเตอร์ จะแบ่งออกเป็น 3 ลักษณะ ดังนี้
1.เวกเตอร์ทั้ง 2 ไปทางเดียวกันเวกเตอร์ลัพธ์มีขนาดเท่ากับผลบวกของขนาดเวกเตอร์ทั้งสอง
ทิศทางของเวกเตอร์ไปทางเดียวกับเวกเตอร์ทั้งสอง
2. เวกเตอร์ทั้ง 2 สวนทางกันเวกเตอร์ลัพธ์มีขนาดเท่ากับผลต่างของเวกเตอร์ทั้งสอง
ทิศทางของเวกเตอร์ลัพธ์ไปทางเดียวกับเวกเตอร์ที่มีขนาดมากกว่าเพราะฉะนั้น R = B
- A เมื่อ B > A , R = A - B เมื่อ A > B
3. เวกเตอร์ทั้ง 2 ทำมุม0 ต่อกัน สามารถหาเวกเตอร์ลัพธ์โดยวิธีการเขียนรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน
โดยให้เวกเตอร์ย่อยเป็นด้านของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่ประกอบ ณ จุดนั้น จะได้เวกเตอร์ลัพธ์มีขนาดและทิศทางตามแนวเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่ลากจากจุดที่เวกเตอร์ทั้งสองกระทำต่อกัน
ระยะทาง (Distance) คือ ความยาววัดตามแนวเส้นที่อนุภาคเคลื่อนที่เป็นปริมาณสเกล่าร์(มีเฉพาะขนาด)
หน่วยมาตรฐาน SI คือ "เมตร" การขจัด หรือ การกระจัด (Displacement) คือ
เส้นตรงที่ลากจากจุดตั้งต้นของการเคลื่อนที่ไปยังจุดสุดท้ายของการเคลื่อนที่
เป็นปริมาณเวกเตอร์ มีทั้งขนาดและทิศทาง (คือทิศจากที่หัวศรลากจากจุดตั้งต้นไปสุดท้าย)มีหน่วย
"เมตร" เช่นกัน
ที่มา:http://202.29.138.73/studentweb/Physics/page2.html